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Zur Geschichte der antiken Mathematik
Elemente des Euklid (Definitionen, Postulate, Axiome)

 
Euklid (um 300 v.Chr.) hatte das ganze damalige mathematische Wissen geordnet und in seinen Elementen (Stoicheia) zusammengefaßt.
Das Buch beinhaltet die Elementargeometrie, die Zahlenlehre und die Raumgeometrie.
Den Definitionen und Postulaten (grundlegende Annahmen) folgen Lehrsätze, welche aufgrund des Vorangegangenen bewiesen werden.
Mit starken Kürzungen folgen unsere heutigen Geometrieschulbücher immer noch den euklidischen Prinzipien.

Die Elemente. I. Buch.

Definitionen

1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
2. Eine Linie ist eine breitenlose Länge.
3. Die Enden einer Linie sind Punkte.
4. Eine gerade Linie (Strecke) ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmäßig liegt.
5. Eine Fläche ist, was nur Länge und Breite hat.
6. Die Enden einer Fläche sind Linien.
7. Eine ebene Fläche ist eine solche, die zu den geraden Linien auf ihr gleichmäßig liegt.
8. Ein ebener Winkel ist die Neigung zweier Linien in einer Ebene gegeneinander, die einander treffen, ohne einander gerade fortzusetzen.
9. Wenn die den Winkel umfassenden Linien gerade sind, heißt der Winkel geradlinig.
10. Wenn eine gerade Linie, auf eine gerade Linie gestellt, einander gleiche Nebenwinkel bildet, dann ist jeder der beiden gleichen Winkel ein Rechter;
und die stehende gerade Linie heißt senkrecht zu (Lot auf) der, auf der sie steht.
11. Stumpf ist ein Winkel, wenn er größer als ein Rechter ist.
12. Spitz, wenn er kleiner als ein Rechter.
13. Eine Grenze ist das, woran etwas endigt.
14. Eine Figur ist, was von einer oder mehreren Grenzen umfaßt wird.
15. Ein Kreis ist eine ebene, von einer einzigen Linie (die Umfang (Bogen) heißt) umfaßte Figur mit der Eigenschaft, daß alle von einem innerhalb der Figur gelegenen Punkte bis zur Linie (zum Umfang des Kreises) laufenden Strecken gleich lang sind.
16. Und Mittelpunkt des Kreises heißt dieser Punkt.
17. Ein Durchmesser des Kreises ist jede durch den Mittelpunkt gezogene, auf beiden Seiten vom Kreisumfang begrenzte Strecke;
eine solche hat auch die Eigenschaft, den Kreis zu halbieren.
18. Ein Halbkreis ist die vom Durchmesser und den durch ihn abgeschnittenen Bogen umfaßte Figur (und Mittelpunkt ist beim Halbkreis derselbe Punkt wie beim Kreise).
19. bis 22. (Definiert werden geradlinige Figuren: Dreieck, Rechteck, Rhombus, Rhomboid.)
23. Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und dabei, wenn man sie nach beiden Seiten ins unendliche verlängert, auf keiner einander treffen.

Postulate

1. Daß man von jedem Punkt nach jedem Punkt eine Strecke ziehen kann,
2. Daß man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,
3. Daß man mit jedem Mittelpunkt und Abstand einen Kreis zeichnen kann,
4. (Ax. 10) Daß alle rechten Winkel einander gleich sind,
5. (Ax. 11) Und daß, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, daß innen auf derselben Siete entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.

Axiome

1. Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich.
2. Wenn Gleichem Gleiches hinzugefügt wird, sind die Ganzen gleich.
3. Wenn von Gleichem Gleiches weggenommen wird, sind die Reste gleich.
4. (Wenn ungleichem Gleiches hinzugefügt wird sind die Ganzen ungleich.)
5. (Die Doppelten von demselben sind einander gleich.)
6. (Die Halben von demselben sind einander gleich.)
7. Was einander deckt, ist einander gleich.
8. Das Ganze ist größer als der Teil.
9. (Zwei Strecken umfassen keinen Flächenraum.)

Paragraphen

§ 1 (A. 1). Über einer gegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck zu errichten. ...
...

Euklid. Die Elemente. Buch I-XIII.
Herausgegeben und ins Deutsche übersetzt von Clemens Thaer.
Darmstadt 1962.


Siehe auch die Links:


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